实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）
类型一：列二元一次方程组解决——行程问题
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：
(2.5+2)x+2.5y=36
3x+(3+2)y=36
解得： x=6，y=3.6
答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：
20（x-y）=280
14（x+y）=280
解得：x=17，y=3
答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，
类型二：列二元一次方程组解决——工程问题
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.
解：
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
①x+y=10
②2000x+1500y=18000
解得：x=6，y=4
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩
【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A | B | |
进价（元/件） | 1200 | 1000 |
售价（元/件） | 1380 | 1200 |
（注：获利 = 售价 — 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；
解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组
1200x+1000y=360000
(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000
解得x=200，y=120
答：略
类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则
X + Y = 4000
X * 2.25％* 3 + Y * 2.7％* 3 = 303.75
解得：X = 1500，Y = 2500。
答：略。
类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个
x+y=190
8x=22y/2
解得x=110，y=80
即110张做盒身，80张做盒底
【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
解： 设生产螺栓的工人为x人 ， 生产螺母的工人为y人
x+y=60
28x=20y
解得 x=25，y=35
答：略
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？
解：设用X立方米做桌面，用Y立方米做桌腿
X+Y=5.........................(1)
50X：300Y=1：4......................(2)
解得：Y=2，X=5-2=3
答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。
类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题
【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。
x＋y＝42
0.8%×X＋1.1%×Y＝ 42×1%
解这个方程组，得：x=14， y=28
答：该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。
【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
解：设：男有X人，女有Y人，则
X-1=Y
2（Y-1）=X
解得：x=4，y=3
答：略
类型八：列二元一次方程组解决——数字问题
【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
解：设这个两位数十位数是x，个位数是y，则这个数是（10x+y)
10x+y-3(x+y)=23 (1)
10x+y=5(x+y)+1 (2)
由（1），（2）得
7x-2y=23
5x-4y=1
解得：x=5
y=6
答：这个两位数是56
【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
解：设个位X，十位Y，有
X - Y = 5
(10X + Y) + (10 + X) = 143
即
X - Y = 5
X + Y = 13
解得：X = 9，Y = 4
这个数就是49
【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
解：设原数百位是x，个位是y那么
x+y=9
x-y=1
两式相加得到2x=10 => x=5 => y=5-1=4
所以原数是504
类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题
【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？
解：设10%的X克，85%的Y克
X+Y=12
X*10%+Y*85%=12*45%
即：X+Y=12
X+8.5Y=54
解得：Y=5.6
答：略
【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？
解：800千克1.75%的农药中含纯农药的质量为800×1.75%=14千克
含14千克纯农药的35%的农药质量为14÷35%=40千克
由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克
答：用40千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药800千克。
类型十：列二元一次方程组解决——几何问题
【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
解：设长方形的长宽分别为x和y 厘米，则
2(x+y) = 48
x-3=y+3
解得：x=15 ， y=9
正方形的面积比矩形面积大
（x-3）（y+3）- x y= （15-3）（9+3）- 15 * 9= 144 - 135= 9（ cm²）
答：略
【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？
类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题
【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
解：设小李X岁，爷爷Y岁，则
5X=Y
3（X+12）=Y+12
两式联立解得：X=12 Y=60
所以小李今年12岁，爷爷今年60岁。
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
解：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台．
(Ⅰ)购进甲、乙两种电视机
解得
(Ⅱ)购进甲、丙两种电视机
解得
(Ⅲ)购进乙、丙两种电视机
解得
(不合实际，舍去)故商场进货方案为购进甲种25 台和乙种25 台；或购进甲种35 台和丙种15 台．
(2) 按方案( Ⅰ) ，获利150 ×25 ＋200 ×25 ＝8750( 元) ；
按方案( Ⅱ) ，获利150 ×35 ＋250 ×15 ＝9000( 元) ．
∴选择购进甲种35 台和丙种15 台．
感谢，归纳太好了。