一道好题DE的长为?,对称,隐圆,分类讨论

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如图,在△ABC中,∠CAB=60°,∠B=75°,AB=4,AD平分∠CAB交BC于点D,在 AB边上存在一点E(不与点B重合),作△DBE 关于直线 DE的对称图形为△DFE,若点F落在△ABC的边上,则DE的长为?

解析:因为点F与点B是对称点,由对称性知DB=DF,所以点F在以点D(定点)为圆心,半径为DB(定长)的圆上。

有以下四种情况,

为什么圆会与AC相交有2个交点呢?这个问题一会回答。

当点在F1 时,DE⊥BF1 ,BE=F1E 。∠DAB=30°,

此时,由AD是∠BAC角平分线,角平分线性质得,DE=DE1,DE=DE1=2<DB=DF,所以,圆会与AC相交有2个交点,如下图:

当点在F2 时,DE在DE2如下图位置。可得,△AE1D≌△AED, △F2E1D≌△BED

∠CAB=60° ,四边形ABDE1中,∠BDE1=120°,∠BDF2=120°,则∠ADE=∠ADE1=60°,

∠ADB=75°,∠F2DE1=∠BDE=15°,

由对称,∠F2DE2=∠BDE2=60°,则,∠E2DE=45°,△E2DE1为等腰直角三角形,

当点在F3 时, △AF3D≌△ABD,点E与点A重合,ED=AD=4

当点在F4 ,E不在AB上。

综上

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