【九年上数学】关于圆的几个最小值问题

2019-10-29 09:20:27  阅读 796 次 评论 0 条

写在前面

关于圆的最小值问题,这里主要讲解简单的选择,填空问题。这类问题常与结合的知识点:动点问题,坐标系,勾股定理,两点之间线段最短,两边之和大于第三边,垂线段最短,三点共线······,主要用的数学思想:数形结合,数学转化。特别是转化思想,常把动点问题转化为定点,定长度问题,后列方程求解.

题目1

如图,⊙M的半径为2,圆心M坐标(3,4),点P是⊙M上的一动点,过点P作PA

⊥PB,A、B都在x轴上,且关于原点O对称,则AB最小值为多少?

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分析:由题目可知,三角形ABP是直角三角形,OP是斜边中线,只要知道OP最小,AB便最小(转化)。连接OP,PM,要使OP最小,只要使OP+PM最小即可。根据两点间线段最短或者两边之和大于第三边知O M最短进而本题得到解决.连接OM交圆于点P,由M(3,4),得出,OM=5,OP=3,则AB=6.

题目2

如图,在直角坐标系中,⊙A的圆心坐标为(-2,0),半径为2,点P为直线y=-3/4x+6上的动点,过点P作⊙A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是多少?

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分析:如上第二图,任意作PQ相切⊙A,由勾股定理发现AQ2=AP2-PQ2, 要求PQ最短只要AP最短即可,AP最短即从点A作直线的垂线段即可,如上第三个图,

接下来求PA,由△PAC≌△OBC,得PA=OB=6,所以可得AQ.

变式

如图,在平面直角坐标系中,点A是直线y=x上移动点,以点B(0,4)为圆心,半径为1 的圆上有一点C,若直线AC与⊙B相切,切点为C,则线段AC的最小值是?

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题目3

如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长最小值是多少?

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分析:由∠PAB=∠PBC,AB⊥BC,可得,∠P=90,想到P在以AB为直径的圆上运动,转化为O,P,C三点共线问题.

如上第二图,O,P,C三点共线。OC最短,即PC最小.

假设OC不最小,看下图

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假设点P如图红色位置,连接OP,PC,由三角形三边之和大于第三边知,OP+PC>OC,故OC最短,有很多同学想不明白,让求PC最短为啥要看OC,因为OP是半径不变.

小结

这类题目在考试中,特别是初学者,满分率并不高。以上几个问题类型一致,方法,思想也都差不多.

要善于总结方法,发现相同类型题目,及时整理落到纸面上,以便养成简单逻辑思维和反思能力.

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